高校生の勉強は、教えられなくても
質問できる相手を

まずは結論
Σ（k=1からnまで）k(k+1) ＝ Σ（k=1からnまで）（kの2乗＋k） ＝ n(n+1)(n+2) / 3
考え方
ポイントは、k(k+1) をそのまま足すのではなく、 「kの2乗」と「k」に分けることです。 k(k+1) ＝ kの2乗 + k なので Σk(k+1) ＝ Σkの2乗 + Σk とできます。 ここで有名な公式 ・Σk ＝ n(n+1)/2 ・Σkの2乗 ＝ n(n+1)(2n+1)/6 を使えば求められます。

まずは結論
Σ（k=1からnまで）k(k+1) ＝ n(n+1)(n+2)/3
確認してみよう
たとえば n=3 のとき 左辺 1×2 + 2×3 + 3×4 ＝ 2 + 6 + 12 ＝ 20 右辺 3×4×5/3 ＝ 20 一致するのでOKです。
注意点
・k(k+1) を kの2乗+k に直すのが第一歩 ・最後の約分を忘れやすいです ・公式の使い分け Σk と Σkの2乗 は別なので混同しないこと
次に意識するとよいこと
「和の記号 Σ があったら、まず分解できないかを見る」 これが数列の和の基本です。 必要ならこのあと 「公式を使わない導き方」 「Σk(k+2) や Σk(k-1) の解き方」 も続けて説明できます。

まずは結論
If I had studied harder, I would have passed the exam. 意味は、 「もしもっと一生懸命勉強していたら、試験に合格していただろう」 です。 これは【仮定法過去完了】で、過去の事実と反対のことを想像するときに使います。
文法の形
仮定法過去完了の基本形は、 If 主語 had 過去分詞, 主語 would have 過去分詞. です。 今回なら、 If I had studied harder, ＝もし私がもっと一生懸命勉強していたら I would have passed the exam. ＝私は試験に合格していただろう となります。 実際には、 「勉強しなかった」 「試験に合格しなかった」 という過去の事実があると考えます。
なぜ had studied になるのか
仮定法では、現実から距離を置くために時制を1つ古くします。 過去のことをさらに古く表すので、 過去形ではなく【過去完了形 had 過去分詞】を使います。 study の過去分詞は studied なので、 had studied になります。
仮定法過去との違い
仮定法過去は、主に【現在の事実と反対】を表します。 形は、 If 主語 過去形, 主語 would 動詞の原形. 例： If I studied harder, I would pass the exam. もし私がもっと一生懸命勉強していれば、試験に合格するだろう。 これは「今、十分に勉強していない」「これからの試験に合格できないかもしれない」という現在・未来の話です。 一方、 If I had studied harder, I would have passed the exam. は「過去に勉強していなかった」「過去の試験に落ちた」という過去の話です。

注意点
名前に「過去」とありますが、仮定法過去は必ずしも過去の話ではありません。 【仮定法過去＝現在の反対】 【仮定法過去完了＝過去の反対】 と覚えると整理しやすいです。
次に意識するとよいこと
仮定法は「時制が1つ古くなる」と考えるのがポイントです。 現在の反対なら過去形、過去の反対なら had 過去分詞を使います。

まずは結論
必要な水酸化ナトリウム水溶液は【20 mL】です。
考え方
中和では、 塩酸の物質量 ＝ 水酸化ナトリウムの物質量 になります。 今回の反応は 塩酸＋水酸化ナトリウム → 塩化ナトリウム＋水 で、1対1で反応します。 だから、まず塩酸が何molあるかを求めれば、それと同じmolの水酸化ナトリウムが必要です。

注意点
・mL のままだと式をまちがえやすいので、基本は L に直してから計算する ・塩酸と水酸化ナトリウムは今回は1対1で反応するが、いつも同じとは限らない ・答えは最後に mL に直すのを忘れない
次に意識するとよいこと
【中和は「まず反応する比を確認して、次に mol をそろえる」】が基本です。 必要なら、このタイプの問題の「公式っぽい解き方」も1分でまとめるよ。

まずは結論
Having finished my homework, I went out for a walk. これは【完了形の分詞構文】です。 意味は、 「宿題を終えたので／終えたあとで、私は散歩に出かけた」 です。 接続詞を使うと、例えば次のように書きかえられます。 After I had finished my homework, I went out for a walk. または Because I had finished my homework, I went out for a walk.
なぜ Having finished になるのか
ポイントは、2つの動作の時間関係です。 ・宿題を終える ・散歩に出かける この文では、先に起きたのは「宿題を終える」です。 つまり、 1. I had finished my homework. 2. I went out for a walk. という順番です。 分詞構文では、主節の動詞 went よりも前に起きたことを表すとき、普通の finishing ではなく、 Having + 過去分詞 を使います。 だから、 Having finished my homework になります。 これは「宿題を終えてしまってから」「宿題を終えたので」という意味を出します。
接続詞を使った文への書きかえ方
元の文は、 Having finished my homework, I went out for a walk. まず分詞構文の部分を普通の文に戻します。 Having finished my homework → I had finished my homework そして意味に合う接続詞をつけます。 時間を表すなら、 After I had finished my homework, I went out for a walk. 「宿題を終えたあとで、散歩に出かけた」 理由を表すなら、 Because I had finished my homework, I went out for a walk. 「宿題を終えたので、散歩に出かけた」 どちらも文法的にはOKです。

注意点
finishing my homework とすると、「宿題をしながら」や「宿題を終えるときに」という感じになりやすく、今回のように「先に終わっていた」感じが弱くなります。 主節より前のことをはっきり表すときは、 Having + 過去分詞 を使います。
次に意識するとよいこと
分詞構文では、主節より前の出来事は「Having + 過去分詞」で表す、という時間差を意識しましょう。

まずは結論
「あやしうこそものぐるほしけれ」の「けれ」は、係助詞「こそ」を受けているので、終止形ではなく【已然形】になっています。 つまり、 「こそ」→ 文末を已然形にする という係り結びの法則です。
考え方
古文では、文の途中に係助詞があると、文末の形が変わることがあります。これを【係り結び】といいます。 主なルールはこれです。

形の確認
「ものぐるほし」は形容詞です。 ・終止形：ものぐるほし ・已然形：ものぐるほしけれ なので、 普通なら： 「あやしうものぐるほし。」 ＝不思議に気味が悪い。 「こそ」が入ると： 「あやしうこそものぐるほしけれ。」 ＝本当に不思議に気味が悪いことだ。 という感じで、強調されます。
注意点
「けれ」と見ると、助動詞「けり」の已然形かな？と思いやすいですが、ここでは「ものぐるほし」という形容詞の已然形の語尾です。 つまり、 ものぐるほし ＋ けれ と別々に考えるというより、 「ものぐるほしけれ」全体で形容詞の已然形 と見るのが大事です。
次に意識するとよいこと
係り結びは、まず文中の「ぞ・なむ・や・か・こそ」を探すこと。 特に、 「こそ」だけは已然形 と覚えると、この文の「けれ」も自然に説明できます。