過去問・模試の復習の
「わからない」を、その場で

まずは結論
If I had studied harder, I would have passed the exam. 意味は、 「もしもっと一生懸命勉強していたら、試験に合格していただろう」 です。 これは【仮定法過去完了】で、過去の事実と反対のことを想像するときに使います。
文法の形
仮定法過去完了の基本形は、 If 主語 had 過去分詞, 主語 would have 過去分詞. です。 今回なら、 If I had studied harder, ＝もし私がもっと一生懸命勉強していたら I would have passed the exam. ＝私は試験に合格していただろう となります。 実際には、 「勉強しなかった」 「試験に合格しなかった」 という過去の事実があると考えます。
なぜ had studied になるのか
仮定法では、現実から距離を置くために時制を1つ古くします。 過去のことをさらに古く表すので、 過去形ではなく【過去完了形 had 過去分詞】を使います。 study の過去分詞は studied なので、 had studied になります。
仮定法過去との違い
仮定法過去は、主に【現在の事実と反対】を表します。 形は、 If 主語 過去形, 主語 would 動詞の原形. 例： If I studied harder, I would pass the exam. もし私がもっと一生懸命勉強していれば、試験に合格するだろう。 これは「今、十分に勉強していない」「これからの試験に合格できないかもしれない」という現在・未来の話です。 一方、 If I had studied harder, I would have passed the exam. は「過去に勉強していなかった」「過去の試験に落ちた」という過去の話です。

注意点
名前に「過去」とありますが、仮定法過去は必ずしも過去の話ではありません。 【仮定法過去＝現在の反対】 【仮定法過去完了＝過去の反対】 と覚えると整理しやすいです。
次に意識するとよいこと
仮定法は「時制が1つ古くなる」と考えるのがポイントです。 現在の反対なら過去形、過去の反対なら had 過去分詞を使います。

まずは結論
Σ（k=1からnまで）k(k+1) ＝ Σ（k=1からnまで）（kの2乗＋k） ＝ n(n+1)(n+2) / 3
考え方
ポイントは、k(k+1) をそのまま足すのではなく、 「kの2乗」と「k」に分けることです。 k(k+1) ＝ kの2乗 + k なので Σk(k+1) ＝ Σkの2乗 + Σk とできます。 ここで有名な公式 ・Σk ＝ n(n+1)/2 ・Σkの2乗 ＝ n(n+1)(2n+1)/6 を使えば求められます。

まずは結論
Σ（k=1からnまで）k(k+1) ＝ n(n+1)(n+2)/3
確認してみよう
たとえば n=3 のとき 左辺 1×2 + 2×3 + 3×4 ＝ 2 + 6 + 12 ＝ 20 右辺 3×4×5/3 ＝ 20 一致するのでOKです。
注意点
・k(k+1) を kの2乗+k に直すのが第一歩 ・最後の約分を忘れやすいです ・公式の使い分け Σk と Σkの2乗 は別なので混同しないこと
次に意識するとよいこと
「和の記号 Σ があったら、まず分解できないかを見る」 これが数列の和の基本です。 必要ならこのあと 「公式を使わない導き方」 「Σk(k+2) や Σk(k-1) の解き方」 も続けて説明できます。

まずは結論
「あやしうこそものぐるほしけれ」の「けれ」は、係助詞「こそ」を受けているので、終止形ではなく【已然形】になっています。 つまり、 「こそ」→ 文末を已然形にする という係り結びの法則です。
考え方
古文では、文の途中に係助詞があると、文末の形が変わることがあります。これを【係り結び】といいます。 主なルールはこれです。

形の確認
「ものぐるほし」は形容詞です。 ・終止形：ものぐるほし ・已然形：ものぐるほしけれ なので、 普通なら： 「あやしうものぐるほし。」 ＝不思議に気味が悪い。 「こそ」が入ると： 「あやしうこそものぐるほしけれ。」 ＝本当に不思議に気味が悪いことだ。 という感じで、強調されます。
注意点
「けれ」と見ると、助動詞「けり」の已然形かな？と思いやすいですが、ここでは「ものぐるほし」という形容詞の已然形の語尾です。 つまり、 ものぐるほし ＋ けれ と別々に考えるというより、 「ものぐるほしけれ」全体で形容詞の已然形 と見るのが大事です。
次に意識するとよいこと
係り結びは、まず文中の「ぞ・なむ・や・か・こそ」を探すこと。 特に、 「こそ」だけは已然形 と覚えると、この文の「けれ」も自然に説明できます。

まずは結論
2人が最初に出会うのは【12分後】です。
考え方
反対向きに進むので、2人の進んだ道のりを合わせると、池1周分の1800mになったときに出会います。 兄は1分に80m、弟は1分に70m進むので、 2人で1分に進む道のりは 80＋70＝150m です。つまり、1分ごとに150mずつ「出会うために必要な1800m」に近づいていくと考えます。

注意点
・「反対向き」なので、速さはたします。 同じ向きなら、追いつく速さとして引きます。 ・「最初に出会う」は、2人の進んだ道のりの和がちょうど1周分になったときです。
たしかめ
12分で進む道のりは ・兄　80×12＝960m ・弟　70×12＝840m 合わせると 960＋840＝1800m 池1周分なので、たしかにここで出会います。
次に意識するとよいこと
【円のまわりを反対向きに進む問題は、「2人の速さの和」を使う】と覚えると解きやすいです。

まずは結論
20Ωと30Ωを並列につなぐと、回路全体の抵抗は【12Ω】です。
考え方
並列回路では、そのまま足し算はしません。 使う公式は 「1 ÷ 全体の抵抗 ＝ 1 ÷ 20 ＋ 1 ÷ 30」 です。 並列つなぎは、電気の通り道が増えるので、全体の抵抗は【もとのどの抵抗よりも小さくなる】のがポイントです。だから20Ωより小さい答えになればよさそう、と見当をつけられます。

注意点
・並列なのに「20＋30＝50Ω」としないこと それは直列回路の求め方です。 ・答えが20Ωや30Ωより大きくなったら計算ミスの可能性が高いです。 並列では必ず、いちばん小さい抵抗より小さくなります。
次に意識するとよいこと
【直列は足す、並列は逆数を使う】をセットで覚えると強いです。 1つだけ覚えやすい形もあります。 2つの抵抗の並列なら 全体の抵抗 ＝ （20×30）÷（20＋30） ＝ 600÷50 ＝ 12Ω この形でも同じ答えになります。 必要なら「なぜ逆数を使うのか」も中2向けにやさしく説明できるよ。