国語の「わからない」を、
その場で解決

まずは結論
「あやしうこそものぐるほしけれ」の「けれ」は、係助詞「こそ」を受けているので、終止形ではなく【已然形】になっています。 つまり、 「こそ」→ 文末を已然形にする という係り結びの法則です。
考え方
古文では、文の途中に係助詞があると、文末の形が変わることがあります。これを【係り結び】といいます。 主なルールはこれです。

形の確認
「ものぐるほし」は形容詞です。 ・終止形：ものぐるほし ・已然形：ものぐるほしけれ なので、 普通なら： 「あやしうものぐるほし。」 ＝不思議に気味が悪い。 「こそ」が入ると： 「あやしうこそものぐるほしけれ。」 ＝本当に不思議に気味が悪いことだ。 という感じで、強調されます。
注意点
「けれ」と見ると、助動詞「けり」の已然形かな？と思いやすいですが、ここでは「ものぐるほし」という形容詞の已然形の語尾です。 つまり、 ものぐるほし ＋ けれ と別々に考えるというより、 「ものぐるほしけれ」全体で形容詞の已然形 と見るのが大事です。
次に意識するとよいこと
係り結びは、まず文中の「ぞ・なむ・や・か・こそ」を探すこと。 特に、 「こそ」だけは已然形 と覚えると、この文の「けれ」も自然に説明できます。

まずは結論
「ない」は、直前の言葉を見て見分けます。 ・動詞のあとについて「〜しない」の意味なら【助動詞】 ・名詞や形容詞のあとで「存在しない・性質がない」を表すなら【形容詞】
考え方
ポイントは「ない」が自立した意味を持つか、前の言葉にくっついて否定を作っているかです。 ・助動詞の「ない」 動詞について、その動作を打ち消すはたらき 例「行かない」「食べない」 →「行く」「食べる」という動詞を否定している ・形容詞の「ない」 「無い」と書けて、「存在しない・持っていない」という意味 例「お金がない」「時間がない」 →「ない」自体が「存在しない」という意味を持つ

注意点
・「わからない」「食べない」は助動詞 →「わから」「食べ」は動詞につながっている ・「本がない」「元気がない」は形容詞 →「ない」自体で意味が通る ・漢字で必ず区別できるわけではありません。問題では意味と前後のつながりで判断するのが大事です。
すぐ使える見分けワザ
「ない」の前に注目して、 ・動詞＋ない → 助動詞 ・名詞＋がない、はない → 形容詞 と考えるとかなり判断しやすいです。
例
「今日はお金がない」 →「お金」が名詞、「ない」は「存在しない」の意味 →【形容詞】 「今日は行かない」 →「行く」が動詞、「行く」を否定 →【助動詞】
次に意識するとよいこと
品詞の見分けは「意味」だけでなく、「何につながるか」を見るのが核です。 必要なら次に、 「ず」と「ぬ」の見分け方 「たい」「らしい」など助動詞の見分け方 もセットで説明できるよ。

まずは結論
イ「だから」 文に入れると、 朝から雨がふり続いた。だから、楽しみにしていた遠足は中止になった。 となります。
考え方
前の文「朝から雨がふり続いた」は、原因・理由です。 後ろの文「遠足は中止になった」は、その結果です。 つまり、 「雨がふった」→「遠足が中止になった」 という「原因 → 結果」の関係になっています。 このように、前の内容を理由にして、後ろに結果を続けるときは「だから」を使います。
ほかの選択肢が合わない理由
ア「しかし」 反対の内容をつなぐ言葉です。 例：雨がふった。しかし、遠足は行われた。 今回は反対ではなく、雨だから中止なので合いません。 ウ「たとえば」 例を出すときの言葉です。 今回、例を出しているわけではありません。 エ「また」 同じような内容をつけ足すときの言葉です。 今回、つけ足しではなく「理由と結果」です。

注意点
「しかし」はよく選びたくなりますが、「しかし」は反対の内容のときに使います。 今回は「雨がふったのに遠足に行った」ではなく、「雨がふったので中止」なので「だから」です。
次に意識するとよいこと
つなぎ言葉は、前後の文が「反対」「理由と結果」「例」「つけ足し」のどれかを考えると選びやすいです。